Diario 3

 

Integrales trigonométricas-Producto de potencias de senos y cosenos

Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones trigonométricas básicas, siempre podemos expresar tales integrales en términos de senos y cosenos.

Comenzamos con las integrales del tipo

$$\int {\sin }^{�}(�){\cos }^{�}(�)��$$

Donde $�$ y $�$ son enteros no negativos, es decir, números positivos o cero y $�,��\mathbb{�}$. Para esta integral vamos a obtener 3 casos distintos, veamos el primer caso:

Caso 1: Si $�$ es impar

Entonces sabemos que $�$ se puede escribir como: $�=2�+1$ con $��\mathbb{�}$, por lo que la integral la podemos reescribir como:

$$\int {\sin }^{�}(�){\cos }^{�}(�)��=\int {\sin }^{2�+1}(�){\cos }^{�}(�)��=\int {\sin }^{2�}(�)\sin (�){\cos }^{�}(�)��$$

$$=\int ({\sin }^2(�){)}^{�}\sin (�){\cos }^{�}(�)��$$

Utilizamos la siguiente relación:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\sin }^2(�)+{\cos }^2(�)=1\Rightarrow {\sin }^2(�)=1-{\cos }^2(�)\end{array}$$

Sustituimos en la integral, así:

$$\int {\sin }^{�}(�){\cos }^{�}(�)��=\int (1-{\cos }^2(�){)}^{�}{\cos }^{�}(�)\sin (�)��$$

Para resolver esta integral tomamos el cambio de variable siguiente:

$$�=\cos (�)$$

Veamos un ejemplo en donde se aplica el caso anterior:

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